\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel và BĐT AM - GM, ta có:

\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\)

\(=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\)

\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)

\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)

\(=a^3+b^3+c^3\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c

\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{1}{abc}\left(a^6+b^6+c^6\right)\)

\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)

Với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3, ta có: \(\Sigma\frac{a}{ab+1}=\Sigma\left(a-\frac{a^2b}{ab+1}\right)\ge3-\Sigma\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}\)

\(=3-\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{a^3b}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

Đặt \(\left(a^2+bc-ab;b^2+ca-bc;c^2+ab-ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Áp dụng BĐT quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\), ta được:

(*)

(Mình gõ bằng chương trình Universal Math Solver, không hiện ảnh thì vô thống kê hỏi đáp của mình, chiều ngày 31/5/2020)

Khai triển VP của BĐT (*), ta được biểu thức: \(3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

Vậy ta được ​\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

​Áp dụng, ta được: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)

\(\Rightarrow3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

hay \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

tôi yêu đảng / yêu nước việt nam / hồ chí minh muôn năm

dễmaf

thay c=c.1=c(a+b+c)

=> ab+c=(c+a)(c+b)

lm tt cuối cùng sẽ ra

\(\frac{a}{b^2+bc+c^2}+\frac{b}{c^2+ca+a^2}+\frac{c}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{bc^2+abc+ba^2}+\frac{c^2}{ca^2+abc+cb^2}\)     (1)

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc}\)

Lại có: \(ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+3abc=\left(ab+bc+ac\right)\left(a+b+c\right)\)

Thay vào -> dpcm

\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức 

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Chúc bạn học tốt !!!